वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) – कक्षा 10 | संक्षिप्त एवं सारांश

वास्तविक संख्याएँ क्या हैं?

वे सभी संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा (Number Line) पर दर्शाया जा सकता है, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं।

वास्तविक संख्याओं के प्रकार

• प्राकृतिक संख्याएँ
• पूर्णांक
• परिमेय संख्याएँ
• अपरिमेय संख्याएँ

यूक्लिड विभाजन प्रमेय (Euclid Division Algorithm)

परिभाषा

यूक्लिड विभाजन प्रमेय के अनुसार, किसी भी दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए एक संख्या को दूसरी संख्या से इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है कि:

Dividend = Divisor × Quotient + Remainder

a = bq + r,

जहाँ शेषफल (Remainder) भाजक से छोटा होता है।

0 ≤ r < b

उपयोग

• HCF निकालने की विधि
• बड़ी संख्याओं को चरणबद्ध हल करने में

अंकगणित का आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)

कथन:

प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है और यह गुणनखंडन एकमात्र (Unique) होता है।

उदाहरण

32760 = 2³ × 3² × 5 × 7 × 13

उपयोग

• Prime Factorisation Method से HCF और LCM निकालने में
• संख्याओं की संरचना समझने में

अभाज्य गुणनखंडन विधि (Prime Factorisation Method)

HCF कैसे निकालें?

• समान अभाज्य गुणकों की सबसे छोटी घात

LCM कैसे निकालें?

• सभी अभाज्य गुणकों की सबसे बड़ी घात

महत्वपूर्ण सूत्र

HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल (केवल दो संख्याओं के लिए)

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

• जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सके
• जहाँ p और q पूर्णांक हों तथा q ≠ 0
• दशमलव प्रसार:

1. समाप्त (Terminating) 
2. असमाप्त आवर्ती (Non-terminating Repeating)

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

वे संख्याएँ जिन्हें p/q (जहाँ p और q पूर्णांक हों) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।

अपरिमेय संख्याओं की विशेषताएँ

• दशमलव प्रसार असमाप्त और अनावर्ती होता है

उदाहरण

√2, √3, √5, π

√2, √3, √5 अपरिमेय क्यों हैं?

√2 को परिमेय मानने पर विरोधाभास उत्पन्न होता है

इसके लिए विरोधाभास द्वारा प्रमाण (Proof by Contradiction) विधि का प्रयोग किया जाता है।

Proof by Contradiction क्या है?

जब हम किसी कथन को सही मानकर चलते हैं और उससे विरोधाभास उत्पन्न होता है, तो वह कथन गलत सिद्ध हो जाता है।

यही विधि √3 और √5 पर भी लागू होती है।

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के गुण

• परिमेय + अपरिमेय = अपरिमेय
• परिमेय − अपरिमेय = अपरिमेय
• शून्य से भिन्न परिमेय × अपरिमेय = अपरिमेय
• अपरिमेय ÷ परिमेय (≠0) = अपरिमेय

Quick Revision Notes

• हर भाज्य संख्या का अभाज्य गुणनखंडन संभव और अद्वितीय है
• √2, √3, √5 अपरिमेय हैं
• HCF × LCM = a × b
• वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर स्थित होती हैं

अपनी गणित की समझ को परखें!

“वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)” पर आधारित इस क्विज़ में शामिल हों और देखें कि आप कितने मजबूत हैं। यह क्विज़ कक्षा 10 (CBSE/NCERT) के सिलेबस के अनुसार तैयार की गई है और इसमें आसान से लेकर चुनौतीपूर्ण MCQ प्रश्न शामिल हैं। 

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FAQs – Real Numbers Class 10

Q1. वास्तविक संख्याएँ क्या होती हैं?

वे संख्याएँ जिन्हें संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

Q2. √2 अपरिमेय क्यों है?

क्योंकि इसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता और इसका दशमलव प्रसार अनावर्ती है।

Q3. Euclid Division Algorithm का उपयोग कहाँ होता है?

HCF निकालने और संख्याओं को सरल रूप में हल करने में।